Solucion Sistemas Ecuaciones Lineales Regla Cramer

La resolución de sistemas de ecuaciones mediante determinantes

Hasta este momento has visto tres métodos para resolver ecuaciones lineales en dos variables: gráfico, por sustitución y eliminación. A continuación un método que te puede ser de utilidad para el mismo tipo de ejercicio que los métodos anteriores.

La regla de Cramer

Para poder aplicar la regla de Cramer es buena idea comenzar con una explicación sobre cómo calcular los determinantes.

Determinantes 2 x 2

Si a,b,c y d son cuatro números reales, a la expresión

D = se le llama un determinante 2 x 2.

Su valor se determina con la expresión ad - bc. Es decir, multiplicamos en forma cruzada y restamos los productos. Es importante que lleves a cabo la multiplicación como se ilustra.

D = = ad - bc

Veamos un ejemplo:

¿Cuál es el determinante para la matriz siguiente ?

Observa el procedimiento para hallarel determinante.

  =  (3)(1) - (6)(−2) = 15

Resumes este proceso de la siguiente forma: primero se multiplican los números que quedan en la diagonal de izquierda arriba a derecha abajo. Luego a este resultado se le resta el producto de los números en la diagonal de izquierda abajo a derecha arriba.

La regla de Cramer es un proceso que te ayuda a resolver sistemas de ecuaciones lineales que tengan la misma cantidad de ecuaciones y variables. Es un método que aplica los determinantes.

Veamos un ejemplo con todos sus pasos.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

      3x - 2y =   4
      6x + y = 13

Hallas primero el determinante de los coeficientes de las variables. Lo llamas el determinante principal y lo nombras con una D.

D = = (3)(1) - (6)(−2) = 15

Observas que el determinante de la matriz de coeficientes nos dio 15. Continúas con el proceso. Observa el procedimiento para hallar el valor del determinante para la variable x.

Remplazas la columna de coeficientes de la variable x con los valores de las constantes. Observa a continuación el proceso:

Dx= = (4) (1) - (13) (−2) = 4 + 26 = 30

Para hallar el valor de x, divides el valor determinado Dx por el determinante principal D. Es decir, calculas

Ahora observa cómo hallas el valor de y.

Dy se calcula con el determinante

Dy = = (3)(13) - (6)(4) = 39 - 24 = 15. Fíjate que en este determinante cambias la segunda columna por las constantes.

Para hallar el valor de y divides el valor hallado para Dy por el determinante principal D. Es decir, calculas y = = = 1 .

Concluyes que la solución del sistema es (2,1). Esto significa que las dos rectas representadas por las ecuaciones originales se intersecan en el punto con coordenadas (2,1). Recuerda que si el sistema resulta en rectas que se intersecan lo llamas consistente.

Estudia ahora la forma general de la Regla de Cramer para dos ecuaciones con dos variables:

La solución para el sistema de ecuaciones

ax + by = s cx + dy = t

esta dada por

x = , y =

siempre que lo siguiente ocurra

D = = ad - bc ¹ 0

Finalmente, con la regla de Cramer se concluye que si

 D ¹  0, entonces

x = , y = .

Por si tienes alguna duda sobre el proceso, es importante que estudies el ejemplo 1 de la página 710 de tu texto y resuelvas los siguientes sistemas aplicando este método.

Resuelve:

1. 1. −3x + 2y = −6

 4x  - 5y  =    8

2. 2. 7x - 2y = 11

         x + 3y  =   −5

  (Respuestas)

Práctica adicional: Página 712 del texto, ejercicios impares 1 al 11.

La Regla de Cramer aplicada a determinantes de matrices 3 x 3

Observa un sistema de ecuaciones lineales que consta de tres ecuaciones lineales y las variables x, y, z.

2x + y - z = 3 -x +2y +4z = −3 x - 2y - 3z = 4

Primero hallamos el determinante de los coeficientes de las variables, que es

D =

Una forma de hallar este determinante se presenta a continuación:

D = =

=[(2)(2)(−3) + (1)(4)(1) +(−1)(−1)(−2)] - [ (1)(2)(−1)+(−2)(4)(2) + (−3)(−1)(1)]

Observa que se escribieron las primeras dos columnas a la derecha y se efectuaron seis multiplicaciones en diagonal, tres de arriba hacia abajo y tres de abajo hacia arriba.

= −10 + 15 = 5

D = 5

Sigues un procedimiento parecido para hallar el determinante en x, y, z. Recuerda que cada vez que vas a hallar un determinante, sustituyes la columna de coeficientes de la variable bajo estudio por las constantes. Estudia ahora este proceso aplicado para hallar el determinante en x.

Dx = =

= [(3)(2)(−3) + (1)(4)(4) + (−1)(−3)(−2)] - [(4)(2)(−1) + (−2)(4)(3) + (−3)(−3)(1)]

= [−18 +16 −6] - [−8 - 24 + 9]

= −8 - (−23)

Dx = 15

Dy = =

      =   [(2)(−3)(−3) + (3)(4)(1) +(−1)(−1)(4)] - [(1)(−3)(−1)+(4)(4)(2)+

(−3)(−1)(3)]

      =   [18 +12 + 4] - [3 + 32 + 9]

     =   34 - 44

Dy = −10

Dz = =

      =  [(2)(2)(4) + (1)(−3)(1) + (3)(−1)(−2)] - [(1)(2)(3) + (−2)(−3)(2) +

(4)(−1)(1)]

      =  [16 −3 +6]  -  [6 + 12 - 4]

     =  19  - 14

Dz = 5

En resumen: D = 5 , Dx = 15, Dy = −10, Dz = 5.

Para determinar los valores de las variables llevas a cabo el proceso siguiente:

x = = = 3

y = = = −2

z = = = 1

La solución de este sistema es (3,−2,1). Lo cual significa que las tres rectas representadas por las ecuaciones del sistema se intersecan en este punto.

En las páginas 711 y 712 del texto aparece el ejemplo 2 que puede ser de ayuda para entender los determinantes 3X3.

Una práctica en este momento sería de mucha ayuda, para determinar tu nivel de conocimiento de los determinantes 3×3.

Utiliza la regla de Cramer para resolver cada sistema de ecuaciones:

1. x + y - z = 2

       -x +2y +3z = −1
       x - 4y - 2z = −7

2. 3x + z = 4

       -x +2y + 3z =   6
     2x +  y + 4z =  8