La teoría general de matrices encuentra una de sus aplicaciones más inmediatas en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con múltiples incógnitas. Aunque posteriormente fue objeto de un extenso desarrollo teórico, este campo de las matemáticas surgió en realidad como un instrumento de cálculo para facilitar las operaciones algebraicas complejas.
Matriz identidad y matriz inversa
Dada una matriz cuadrada A de orden n x n (o, simplemente, n), se define matriz identidad I como la que, conla misma dimensión n, está formada por elementos que son todos nulos salvo los situados en la diagonal principal, cuyo valor es 1. Es decir: A × I = I × A = A.
Para dicha matriz A de orden n, se dice que existe una matriz inversa A-1 también de orden n, cuando el producto de ambas es igual a la matriz identidad: A × A-1 = A-1 × A = I.
Toda matriz que tiene inversa se dice inversible o regular, mientras que cuando carece de inversa se denomina matriz singular.
Para calcular la matriz inversa de una dada, puede recurrirse a la resolución de las ecuaciones que plantearía el producto de matrices A × X = I, siendo los coeficientes de A e I conocidos y los de X correspondientes a las incógnitas. También se puede aplicar el llamado método de reducción o gaussiano, según el siguiente esquema:
Dada la matriz original A = (aij), con i, j = 1, 2, …, n, se forma primero su matriz ampliada (A | I).
Después, se aplican operaciones elementales sobre las filas de la matriz hasta conseguir reducir A a la matriz unidad. Las mismas transformaciones se van haciendo en I. La nueva matriz obtenida es A-1.
Las operaciones elementales que se pueden aplicar a las matrices ampliadas son:
Multiplicación de una fila por un número distinto de cero.
Suma ordenada a los elementos de una fila del múltiplo de los de otra.
Intercambio de filas.
Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Cualquier sistema de ecuaciones lineales puede escribirse siempre en forma matricial de la siguiente forma:
donde A es la matriz de los coeficientes, X la matriz de las incógnitas y B la matriz de los términos independientes.
Así, por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales:
Resolución de un sistema por la matriz inversa
Un procedimiento rápido para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices es el llamado método de la matriz inversa. Esta técnica consiste en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión matricial del sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los coeficientes (si existe). De este modo:
Cuando la matriz de los coeficientes no es inversible, el sistema no tiene solución (es incompatible).
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