Metodos Solucion Sistemas Ecuaciones Lineales

METODO DE ELIMINACION GAUSSIANA

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El método de eliminación Gaussiana indica cómo se puede llevar una matriz dada a su forma escalonada reducida. Las difrenetes etapas del método se explicarán con un ejemplo particular. Supóngase que tiene un sistema de ecuaciones de cuatro incognitas

 3×3–2×2+x1+x0=1
x3-x2-x1–3×0=0
2×3+x2+2×1+4×0=5
2×3–4×2+x1+2×0=4
Esto nos quedara entonces:

Se hace qu el primer elemento de la primera linea (L1) sea 1. Esto es posible multiplicando por 1/3 tal linea. Se obtiene la matriz

L1	3	−2	2	1	1	(1/3)
L2	1	−1	−1	−3	0
L3	2	1	2	4	5
L4	4	−4	1	2	4

Esto nos queda:

L1	1	−2/3	2/3	1/3	1/3
L2	1	−1	−1	−3	0
L3	2	1	2	4	5
L4	4	−4	1	2	4

Ahora se elininara el primer numero de L2. Esto se hace Multiplicando L1 por −1 y sumandocelo a L2 respectivamente.

L1	1	−2/3	2/3	1/3	1/3
L2	1	−1	−1	−3	0	−1
L3	2	1	2	4	5
L4	4	−4	1	2	4

Queda así:

L1	1	−2/3	2/3	1/3	1/3
L2	0	−1/3	−5/3	−10/3	−1/3
L3	2	1	2	4	5
L4	4	−4	1	2	4

(−1)(1)=−1+1=0, (−1)(−2/3)=2/3+(−1)=−1/3, (−1)(2/3)=−2/3+(−1)=−5/3, (−1)(1/3)=−1/3+(−3)=−10/3, (−1)(1/3)=−1/3+0=−1/3.

L2 se multiplica por −3 para hacer 1 el segundo numero de L2

L1	1	−2/3	2/3	1/3	1/3
L2	0	−1/3	−5/3	−10/3	−1/3	−3
L3	2	1	2	4	5
L4	4	−4	1	2	4

Esto nos da

L1	1	−2/3	2/3	1/3	1/3
L2	0	1	5	10	1
L3	2	1	2	4	5
L4	4	−4	1	2	4

multiplicando por −3 a L2 (−3)0=0, (−3)(−1/3)=1, (−3)(−5/3)=5, (−3)(−10/3)=10, (−3)(−1/3)=1.

Para eliminar el primer mun de L3 se multiplica L1 por −2 y se suma a L3 respectivamente

L1	1	−2/3	2/3	1/3	1/3
L2	0	1	5	10	1
L3	2	1	2	4	5	−2
L4	4	−4	1	2	4

queda de la siguiente manera

L1	1	−2/3	2/3	1/3	1/3
L2	0	1	5	10	1
L3	0	7/3	2/3	10/3	13/3
L4	4	−4	1	2	4

Para eliminar el segundo numero de L3 se multiplica L2 por −7/3 y se suma a L3 respectivamente

L1	1	−2/3	2/3	1/3	1/3
L2	0	1	5	10	1
L3	0	7/3	2/3	10/3	13/3	−7/3
L4	4	−4	1	2	4

METODO DE ELIMINACION DE GAUSS-JORDAN

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El metodo noes más que una “optimisación y sistematización” de las ideas expuestas en la seccion anterior.

El primer paso que se debe lograr para para este objetivo va en la direccion de “ahorro de notación”. Para aclarar esta idea, se debe recordar lo que motivó el estudio de ka “division sintética” en los cursos de álgebra elemental.

Antes de comenzar a describir la metodologia de la eliminacion gaussiana