Clasificacion De Matrices

“Matriz Escalar”

Si una matriz diagonal tiene todos los términos de la diagonal iguales se llama matriz escalar.

Una matriz es simétrica si es igual a su traspuesta.

Una matriz A es antisimétrica (o hemisimétrica) si su traspuesta es igual a -A.

MATRIZ ORTOGONAL Una matriz se llama ortogonal si A T A = A A T = I. Este resultado implica que A T = A –1.

Ejemplo: Pruebe que la siguiente matriz es ortogonal.

Considere la siguiente matriz ortogonal

entonces

Esta relación genera las siguientes ecuaciones:

u1• u1 = 1 u1• u2 = 0 u1• u3 = 0

u2• u1 = 0 u2• u2 = 1 u2• u3 = 0

u3• u1 = 0 u3• u2 = 0 u3• u3 = 1

Esto quiere decir que los renglones de A son ortogonales y de longitud unitaria, es decir, forman un conjunto de vectores ortonormales. En forma similar se puede probar que las columnas forman también un conjunto de vectores ortonormales.

Una matriz cuadrada tiene un número de filas p igual a su número de columnas q.

Son matrices de orden, p x p ó p2.

Las matrices:

A = 2 0 B = 0 2 3

-3 1 −1 0 2

0 0 0

son de orden 2 x 2 y 3 x 3 respectivamente.

Los elementos a11, a22, a33, … ann de una matriz cuadrada constituyen su diagonal principal.

La diagonal principal será:

a11 … … …

A = … a22 … …

… … a33 …

… … … ann

una matriz cuadrada tal que:

a11 = a22 = a33 = …. = ann = 1 y todos los demás elementos son cero, es una matriz unidad.

La representaremos por I o sea:

IA = 1 0

• 1

es una matriz de orden 2 x 2.

Una matriz diagonal es aquella en que los elementos que no están en la diagonal principal son ceros.

Esta es un matriz diagonal:

2 0 0 0

A = 0 3 0 0

0 0 −2 0

0 0 0 4

Una matriz cuyos elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son todos ceros es matriz triangular. Si todos los ceros están por encima de la diagonal principal entonces es una matriz inferior y si todos los ceros están por debajo de la diagonal principal es una matriz superior.

Ejemplo:

A = 3 0 0 es una matriz inferior.

1 2 0

-1 0 4

B = 4 1 −2

0 1 5 es una matriz superior.

0 0 3

Esquema de filas, columnas y diagonal principal.

1 0 4 7 filas

A = 0 2 5 8

0 3 6 9

1 2 1 0 diagonal principal

columnas

Una matriz nula tiene todos sus elementos nulos.

Ejemplo:

0 0 0

A = 0 0 0

0 0 0

Una matriz cuadrada es simétrica si: aij = aji.

Es decir si los elementos situados a igual distancia de su diagonal principal son iguales.

A = 1 −3 5

-3 2 0

5 0 1

es simétrica porque: a12 = a21 = −3, a13 = a31 = 5, a23 = a32 = 0.

Una matriz es asimétrica si: aij = aji.

Observa si 1 = j, aii = -aii y el único número que cumple con esta igualdad es el cero por lo que es una matriz asimétrica la diagonal principal esta formada por elementos nulos.

En una matriz asimétrica los elementos situados a igual distancia de la diagonal principal son iguales en valor absoluto y de signos contrarios.

B = 0 2 −2 5

-2 0 3 6

2 −3 0 −1

-5 6 1 0

es una matriz asimétrica

Matriz escalar

Si tenemos una matriz diagonal cuyos elementos que están en la diagonal principal son todos iguales entonces tenemos una matriz escalar.

A = 3 0 0

0 3 0

0 0 3

Matriz identidad

Es toda matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.

Esta matriz se representa por 1n.

12 = 1 0

• 1

igualdad de matrices si y solo si tienen el mismo orden y sus elementos son iguales.

Ejemplo:

A = a b B = x y

c d z w

si en estas matrices a = x, b = y, c = z y d = w, entonces las matrices A y B son iguales.

Matriz transpuesta

Si tenemos una matriz (A) cualquiera de orden m x n entonces su transpuesta es otra matriz (A) de orden n x m donde se intercambian las filas y las columnas de la matriz (A).

Ejemplo:

Si

A = 4 −1 3

0 5 −2

entonces su traspuesta será:

At = 4 0

-1 5

• −2

Matriz adjunta: Matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto. El adjunto de un elemento aij es el valor del determinante que se obtiene de eliminar la fila y la columna en la que se halla dicho elemento(menor complementario) multiplicadom por el signo correspondiente a su posicion, segun la regla de los signos o aplicando la expresion (−1)^ij. La matriz adjunta se representa A^* y se forma a partir de una matriz cuadrada.

Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo)