Definicion Espacio Vectorial Y Propiedades

ESPACIO VECTORIAL

Historia

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana.1 Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.2 Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.3 El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentaciónde los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector).4 Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales.

En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de los aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.5 En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.

Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 19207 y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.

DEFINICIÓN

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión. Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y complicada.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

El plano R2, consistente en los pares (x, y) de números reales, es el típico ejemplo de espacio vectorial: cualquiera dos pares de números reales pueden sumarse,

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),

y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).

Existe además un vector, el (0,0), llamado vector nulo que cumple que al sumarse con cualquier otro vector no lo altera. Todo vector, por ejemplo el (1, 0), tiene su opuesto, el (−1, 0), que sumados dan como resultante el vector nulo (0, 0).

La noción de espacio vectorial es una generalización de esta idea. Es más general de varias maneras: en primer lugar, en lugar de los números reales otros cuerpos, como los números complejos o los cuerpos finitos, se permiten. En segundo lugar, la dimensión del espacio, que es de dos en el ejemplo anterior, puede ser arbitraria, incluso infinita. Otro punto de vista conceptual importante es que los elementos de los espacios vectoriales no suelen estar expresados como combinaciones lineales de un conjunto de vectores, es decir, no hay preferencia de representar el vector (x, y ) como

(x, y) = x • (1, 0) + y • (0, 1)

o como

(x, y) = (−1/3•x + 2/3•y) • (−1, 1) + (1/3•x + 1/3•y) • (2, 1)

DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto V no vacío dotado de dos operaciones internas:

tal que:

• tenga la propiedad conmutativa, es decir

• tenga la propiedad asociativa, es decir

• tenga elemento neutro 0, es decir

• tenga elemento opuesto, es decir

tal que: • • • • Los elementos de K se llaman escalares.

Los elementos de V se llaman vectores.

DEFINICIÓN DE SUBESPACIO VECTORIAL

Sea V un espacio vectorial sobre K y no vacío,U es un subespacio vectorial de V si:

• • CONSECUENCIAS

U hereda las operaciones de V como operaciones internas y como consecuencia tenemos que U es un espacio vectorial sobre K. OBSERVACIÓN Con esta definición puede comprobarse que R2, con la suma y producto vistos arriba, es por tanto un espacio vectorial. Comprobar los axiomas se reduce a verificar identidades sencillas como (x, y) + (0, 0) = (x, y), i.e. la suma de un vector nulo (0, 0) con otro vector produce el mismo vector. La propiedad distributiva lleva a (a + b) • (x, y) = a • (x, y) + b • (x, y). NOTAS Y DEFINICIÓN ALTERNATIVA El requisito de que la suma de vectores y la multiplicación por un escalar sean operaciones binarias incluye (por la definición de las operaciones binarias) una propiedad llamada cerradura, es decir, u + v y a v se encuentran en V para todos a, u y v. Algunos autores optan por mencionar estas propiedades como axiomas separados. Las primeras cuatro propiedades hacen referencia a la suma de vectores y se resumen diciendo que el espacio vectorial es un grupo conmutativo con la suma. El resto de propiedades son equivalentes a la existencia de un homomorfismo de anillos f del cuerpo en el anillo de endoformismos del grupo de vectores. Luego, la multiplicación por un escalar a v se define como (f(a))(v). Esto puede ser visto como el punto de partida de la definición de un espacio vectorial sin referirse al cuerpo. En particular, para cualquier a de , se llama homotecia de razón a al morfismo de . Con estas premisas tenemos la siguiente DEFINICIÓN Se dice que es un espacio vectorial sobre si y sólo si se tiene

 , +, * 

es un morfismo de anillos. CONSECUENCIAS DE ESTA DEFINICIÓN • El hecho que (V, + ) sea un grupo abeliano resume en sí mismo los axiomas de la suma vectorial. • El que ha sea homotecia da cuenta del axioma 4 del producto por escalares ya que es lineal. • El que f sea un morfismo de anillos significa que o f(a + b) = f(a) + f(b), es decir que ha + b = ha + hb, ó sea (axioma 10) o , es decir , ó sea (axioma 7) o f(1) = I, ó sea h1 = I, donde 1 es el neutro de (K,.) e I es la identidad, es decir la aplicación de V. La identidad es obviamente el neutro de End V. Esto se escribe para cuaquier vector . (axioma 8 ) • Se podría añadir , la aplicación nula de V, pero es una consecuencia de la tercera premisa. • El último punto (f(1) = I) equivale a afirmar que f no es la aplicación nula. PROPIEDADES DEL ESPACIO VECTORIAL Hay una serie de propiedades que se demuestran fácilmente a partir de los axiomas del espacio vectorial. Algunas de ellas se derivan de la teoría elemental de grupos, aplicada al grupo (aditivo) de vectores: por ejemplo, el vector nulo 0 Є V, y el opuesto -v de un vector v son únicos. Otras propiedades se pueden derivar de la propiedad distributiva, por ejemplo, la multiplicación por el escalar cero da el vector nulo y ningún otro escalar multiplicado por un vector da cero: Propiedad Significado Unicidad del vector nulo Unicidad del opuesto de un vector Producto por el escalar cero 0 v = 0. El 0 es el único escalar que cumple esta propiedad. Producto de un escalar por el vector nulo a 0 = 0 Opuesto del producto de un vector por un escalar - (a v) = (-a) v = a (-v) EJEMPLOS ESPACIOS DE COORDENADAS Y DE FUNCIONES El primer ejemplo de un espacio vectorial sobre un cuerpo K es el propio cuerpo, equipado con la suma y multiplicación definida en el cuerpo. Esto se generaliza por el espacio vectorial conocido como el espacio de coordenadas representado generalmente como Kn, donde n es un entero. Sus elementos son n-tuplas (a1, a2, …, an), donde los ai son elementos de K. Las sucesiones infinitas de coordenadas, y, más generalmente, las funciones de cualquier conjunto fijo Ω en un cuerpo K también forman espacios vectoriales, mediante la suma y la multiplicación escalar puntual, es decir, la suma de dos funciones de f y g viene dada por (f + g)(w) = f(w) + g(w) y de igual modo para la multiplicación. Tales espacios de funciones se producen en muchas situaciones geométricas, cuando Ω es la recta real, un intervalo, o algún subconjunto de Rn. Muchos conceptos en topología y análisis, tales como continuidad, integrabilidad o diferenciabilidad tienen un buen comportamiento respecto a la linealidad, es decir, sumas y múltiplos por un escalar de funciones que posean una determinada propiedad seguirán teniéndola. Por lo tanto, el conjunto de tales funciones son espacios vectoriales. Estos espacios se estudian con más detalle utilizando los métodos de análisis funcional, véase más abajo. Las desigualdades algebraicas también producen espacios vectoriales: el espacio vectorial K[x] formado por funciones polinómicas, i.e. f (x) = rnxn + rn−1xn−1 + … + r1x + r0,donde los coeficientes rn, …, r0 se encuentran en K. Las series de potencias son similares, salvo que se permiten infinitos términos. ECUACIONES LINEALES Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneas están estrechamente vinculados a los espacios vectoriales. Por ejemplo, las soluciones de a + 3b + c = 0 4a + 2b + 2c = 0 vienen dadas por tripletas de la forma a, b = a/2, y c = −5a/2 para un a arbitrario. Forman un espacio vectorial: las sumas y múltiplos de esas tripletas sigue cumpliendo las ecuaciones, por lo que son soluciones, también. Las matrices se pueden utilizar para condensar múltiples ecuaciones lineales en una sola ecuación, con el ejemplo anterior, Ax = 0, donde A es la matriz

 ,

, x es el vector (a, b, c), y 0 = (0, 0) es el vector nulo. De forma similar, las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas forman espacios vectoriales. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación f ’‘(x) + 2f ’(x) + f (x) = 0 son de la forma f (x) = a • e−x + bx • e−x, donde a y b son constantes arbitrarias, y e = 2.718…. TEORÍA DE NÚMEROS ALGEBRAICOS Una situación común en la teoría de números algebraicos es un cuerpo K que contiene un subcuerpo E. Por las operaciones de multiplicación y adición de K, K se convierte en un E-espacio vectorial, es decir, una extensión de E. Por ejemplo, los números complejos son un espacio vectorial sobre R. Otro ejemplo es Q(z), el cuerpo más pequeño que contiene los números racionales y algún número complejo z. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES Como ocurre con muchas entidades algebraicas, la relación entre dos espacios vectoriales se expresa por las aplicaciones entre ellos. En el contexto de los espacios vectoriales, el concepto correspondiente se denomina aplicación lineal o transformación lineal. Se tratan de funciones f : V → W que son compatibles con la estructura relevante, i.e., preservan la suma de vectores y el producto por un escalar: f(v + w) = f(v) + f(w) y f(a • v) = a • f(v). Un isomorfismo es aquella aplicación lineal f : V → W para la cual existe una inversa g : W → V. Si existe un isomorfismo entre V y W, los dos espacios se dice que son isomorfos, siendo esencialmente idénticos como espacios vectoriales, ya que a cualquier identidades en V le corresponde, a través de f, otra similar en W, y viceversa a través de g. Dados dos espacios vectoriales V y W, las aplicaciones lineales de V en W forman un espacio vectorial representado como Hom F?(V, W) o como L(V, W). Una vez se elige una base de V, las aplicaciones lineales f : V → W están completamente determinadas por las imágenes de los vectores de la base, ya que cualquier elemento de V se expresa de forma única como una combinación lineal de éstos. Si los dos espacios tienen la misma dimensión se puede elegir una biyección entre dos bases fijas de V y W. La aplicación que aplica cualquier elemento de la base de V en el correspondiente elemento de la base deW, es, por su propia definición, un isomorfismo. Luego todo espacio vectorial está completamente determinado (salvo isomorfismos) por su dimensión, un simple número. En particular, cualquier espacio vectorial de dimensión n sobre F es isomorfo a Fn. MATRICES

Una matriz típica. Las matrices son un concepto útil para representar las aplicaciones lineales. Se escriben como una tabla rectangular de escalares, es decir, elementos de algún cuerpo K. Cualquier matriz m-por-n A da lugar a una aplicación lineal de Kn a Km, por la siguiente fórmula:

 ,

o mediante el producto de la matriz A con el vector de coordenadas x: x ↦ Ax. Además, después de la elección de bases de V y W, cualquier aplicación lineal f : V → W se representa de forma única por una matriz a través de esta fórmula.

El volumen de este paralelepípedo es el valor absoluto del determinante de la matriz 3-por-3 formada por los vectores r1, r2, y r3. El determinante det (A) de una matriz cuadrada A es un escalar que nos dice si la correspondiente aplicación lineal es o no un isomorfismo: para serlo la condición necesaria y suficiente es que el determinante no sea cero. VECTORES Y VALORES PROPIOS Un caso especialmente importante de aplicación lineal son los endomorfismos, es decir, aplicaciones f : V → V. En este caso, los vectores v pueden compararse con sus imágenes por f, f(v). Cualquier vector v satisfaciendo f(v) = λ • v, donde λ es un escalar, se dice que es un vector propio de f con valor propio λ.nb 1 Equivalentemente, v es un elemento del núcleo de la diferencia f − λ • Id (la aplicación identidad V → V). En el caso finito-dimensional, esto puede ser reformulado utilizando determinantes como: f tiene el valor propio λ sii det (f − λ • Id) = 0. Al desarrollar el determinante, la expresión del lado izquierdo resulta ser una función polinómica en λ, llamada polinomio característico de f. Si el cuerpo F es lo suficientemente grande como para contener un cero de este polinomio (que siempre ocurrirá si F es algebraicamente cerrado, por ejemplo C) la aplicación lineal tendrá al menos un vector propio. El espacio vectorial V puede o no tener una base formada por vectores propios. Este fenómeno se rige por la forma canónica de Jordan del endomorfismo. El teorema espectral describe el caso infinito-dimensional; para lograr este objetivo, son necesarios los mecanismos de análisis funcionaL.