Propiedades Determinantes

En esta sección aprenderemos a calcular el determinante de una matriz de una manera más sencilla, usando operaciones elementales.

TEOREMA 2.2

Sea A una matriz de orden n. Entonces

Si dos filas (o columnas) de una matriz A se intercambian, entonces el signo del determinante cambia.

Si todos los componentes de una fila (o columna) de una matriz A se multiplican por un escalar k, entonces el determinante de la matriz resultante es k veces el determinante de la matriz A.

Si las componentes de una fila (o columna) de una matriz A se multiplican por un escalar k y se le suman a las correspondientes componentes de otra fila (o columna) entonces el determinante no cambia.

En términos de matrices elementales:

a. b. c.

‘’‘ COROLARIO 2.1′’‘

Si una matriz de orden n tiene una fila o una columna que consta solo de ceros, entonces el determinante de la matriz es cero.

DEMOSTRACIÓN.

Sea A una matriz de orden n, como la parte (b) del teorema 2.2 es cierta para k=0, entonces se tiene que el determinante de una matriz que tenga una fila consistiendo sólo de ceros, tiene determinante igual a cero. Para el caso de las columnas, basta proceder de igual forma sobre las filas de , que son las columnas de la matriz.

COROLARIO 2.2

(Determinantes de las matrices elementales de orden n).

a. b. c.

COROLARIO 2.3

Si E una matriz elemental de orden n y A una matriz de orden n, entonces

. DEMOSTRACIÓN.

Sea A una matriz de orden n y E una matriz elemental de orden n. Por el teorema 2.2 y corolario 2.2 se tiene que:

1. Si entonces 2. Si entonces 3. Si entonces

Por inducción matemática, el resultado anterior se puede extender a k matrices elementales

TEOREMA 2.3

Una matriz A de orden n es no singular si y solo si el determinante de A es diferente de cero.

DEMOSTRACIÓN.

Según el teorema 1.13 de la sección 3.2, existen matrices elementales , tales que , donde E es una matriz escalonada reducida y según el corolario 3 de esta sección . Si la matriz A es no singular, entonces E=I y , por tanto . Si la matriz A es singular de orden n, entonces la última fila de E está compuesta de ceros y por tanto , luego .

Pero determinante de es diferente de cero por el corolario 2.2 de esta sección, de donde se concluye que .

TEOREMA 2.4

Si A y B son matrices de orden n, entonces

. DEMOSTRACIÓN.

Si AB es no singular, entonces tanto A como B son no singulares (ejercicio 10 de la sección 15.2) y por el teorema 1.14, literal (d)., se tiene que A es un producto de matrices elementales, es decir, , y aplicando el corolario 2.3 reiteradamente se tiene que . Como , remplazando se obtiene que .