Calculo Inversa De Matriz

Matriz invertible De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegaci¨®n, b¨

squeda

En matem¨¢ticas, y especialmente en ¨¢lgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que

AA−1 = A−1A = In, donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.

La inversi¨®n de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Contenido [ocultar] 1 Propiedades de la matriz inversa 1.1 Demostraci¨®n de la unicidad de la inversa 1.2 Demostraci¨®n del criterio de inversibilidad de las matrices cuadradas 1.2.1 Necesidad 1.2.2Suficiencia 2 M¨¦todos de inversi¨®n de matrices 2.1 Soluci¨®n anal¨ªtica 2.1.1 Inversi¨®n de matrices 2¡Á2 2.1.2 Inversi¨®n de matrices de ¨®rdenes superiores 2.2 M¨¦todos num¨¦ricos 3 Referencias 4 Enlaces externos

Propiedades de la matriz inversa [editar]La inversa de una matriz, si existe, es ¨

nica.

La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

Si la matriz es invertible, tambi¨¦n lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

Y, evidentemente:

Una matriz es invertible si y s¨®lo si el determinante de A es distinto de cero. Adem¨¢s la inversa satisface la igualdad:

donde es el determinante de A y es la matriz de adjuntos de A.

Demostraci¨®n de la unicidad de la inversa [editar]Supongamos que B y C son inversas de A

AB = BA = I

AC = CA = I

Multiplicando por C

(BA)C = IC = C

(BA)C = B(AC) = BI = B

De modo que B=C y se prueba que la inversa es ¨

nica.

Demostraci¨®n del criterio de inversibilidad de las matrices cuadradas [editar]Se probar¨¢ la doble implicaci¨®n.

Necesidad [editar]Suponiendo que existe B tal que AB = BA = I. Entonces al aplicar la funci¨®n determinante se obtiene

usando la propiedad det(I) = 1

Por lo tanto, det(A) es distinto de cero.

Suficiencia [editar]Suponiendo que el determinate de A es distinto de cero, sea aij es el elemento ij de la matriz A y sea Aij la matriz A sin la fila i y la columna j (com¨

nmente conocida como j-¨¦simo menor de A). Entonces

Sea , entonces

Esta afirmaci¨®n es v¨¢lida propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relaci¨®n nos conduce a una matriz con la columna j igual a la columna k y los dem¨¢s t¨¦rminos iguales a los de A. Entonces

donde ¦Äjk = 1 cuando j = k y ¦Äjk = 0 cuando . Entonces

Es decir que A tiene inversa izquierda

Como , entonces At tambi¨¦n tiene inversa izquierda que es

Entonces

luego, aplicando la transpuesta

Que es lo que se quer¨ªa demostrar

M¨¦todos de inversi¨®n de matrices [editar]

Soluci¨®n anal¨ªtica [editar]

Inversi¨®n de matrices 2¡Á2 [editar]Calcular la matriz inversa en matrices de 2×2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera: [1]

Esto es posible siempre y cuando ad - bc, el determinante de la matriz, no sea cero.

Inversi¨®n de matrices de ¨®rdenes superiores [editar]Para matrices de ¨®rdenes superiores puede utilizarse la siguiente f¨®rmula:

donde es el determinante de A y es la matriz de adjuntos de A.

M¨¦todos num¨¦ricos [editar]El m¨¦todo de eliminaci¨®n de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposici¨®n LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho m¨¢s f¨¢ciles de invertir.

Referencias [editar]¡ü Strang, Gilbert ;(2006). Linear Algebra and Its Applications. Thomson Brooks/Cole, p¨¢gs. p. 46. ISBN 0–03–010567–6.

Informacion proporcionada por Universidad Autonoma de Chihuahua